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Capítulo 3

Transformaciones Lineales

3.1 Definición

Una transformación T:V→WT: V \to W es lineal si preserva combinaciones lineales:

T(λx+μy)=λT(x)+μT(y)T(\lambda \mathbf{x} + \mu \mathbf{y}) = \lambda T(\mathbf{x}) + \mu T(\mathbf{y})

Toda transformación lineal entre espacios finitos se representa por una matriz.

3.2 Matriz de una Transformación

Si T:Rn→RmT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, existe una matriz A de m×n tal que:

T(x)=AxT(\mathbf{x}) = A\mathbf{x}

Las columnas de A son las imágenes de los vectores de la base canónica: A=[T(e1)  T(e2)  ⋯  T(en)]A = [T(\mathbf{e}_1) \; T(\mathbf{e}_2) \; \cdots \; T(\mathbf{e}_n)].

3.3 Visualización Interactiva

Cada matriz 2×2 es una transformación lineal del plano. El cuadrado azul es el original, el amarillo es el transformado.

Cuadrado originalTransformado

Matriz:

[0.71 -0.71]

[0.71 0.71]

det = 1.000

3.4 Kernel e Imagen

Kernel (Núcleo)

ker⁡(T)={x:T(x)=0}\ker(T) = \{\mathbf{x} : T(\mathbf{x}) = \mathbf{0}\}

Vectores que la transformación mapea a cero. dim⁡(ker⁡(T))=nullidad\dim(\ker(T)) = \text{nullidad}.

Imagen

im(T)={y:∃x,T(x)=y}\text{im}(T) = \{\mathbf{y} : \exists \mathbf{x}, T(\mathbf{x}) = \mathbf{y}\}

El subespacio alcanzable. dim⁡(im(T))=rango\dim(\text{im}(T)) = \text{rango}.

dim⁡(ker⁡(T))+dim⁡(im(T))=dim⁡(V)\dim(\ker(T)) + \dim(\text{im}(T)) = \dim(V)

3.5 Cambio de Base

La matriz de una transformación depende de la base. Si cambiamos de base con una matriz P, la nueva matriz es:

A′=P−1APA' = P^{-1} A P
python
import numpy as np

# Transformación en R^2: reflexión eje X
A = np.array([[1, 0], [0, -1]])

# Cambio de base: rotación 30°
theta = np.radians(30)
P = np.array([[np.cos(theta), -np.sin(theta)],
              [np.sin(theta),  np.cos(theta)]])

# Matriz en la nueva base
P_inv = np.linalg.inv(P)
A_prima = P_inv @ A @ P
print("A en base original:
", A)
print("A en base rotada:
", A_prima)

# La transformación es la misma, solo cambia la representación