Capítulo 1 | Probabilidad | Pablo Madariaga

1.1 Teoría de Conjuntos

El lenguaje de la probabilidad

La probabilidad se construye sobre la teoría de conjuntos. Un conjunto es una colección de elementos. En probabilidad, el espacio muestral $\Omega$ es el conjunto de todos los resultados posibles.

Operaciones básicas

$A \cup B$ — Unión: elementos en A o en B (o ambos)
$A \cap B$ — Intersección: elementos en A y B
$A^c$ — Complemento: elementos no en A
$A \setminus B$ — Diferencia: elementos en A pero no en B

Propiedades clave

Conmutativa: $A \cup B = B \cup A$
Asociativa: $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
Distributiva: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
De Morgan: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

Visualización: Diagrama de Venn

A B A ∩ B

Ejemplo en Python

python

# Operaciones de conjuntos en Python
A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5, 6}

union = A | B         # {1, 2, 3, 4, 5, 6}
interseccion = A & B  # {3, 4}
diferencia = A - B    # {1, 2}
complemento = {x for x in range(1, 7) if x not in A}  # B^c relativo

1.2 Espacio de Probabilidad

La tripleta (Ω, F, P)

Un espacio de probabilidad se define por tres componentes:

$\Omega$

Espacio muestral: el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Ej: al lanzar un dado, $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$ .

$\mathcal{F}$

Eventos: una colección de subconjuntos de $\Omega$ a los que podemos asignar probabilidad. Debe ser una σ-álgebra.

P

Medida de probabilidad: una función $P: \mathcal{F} \to [0,1]$ que asigna probabilidad a cada evento.

1.3 Axiomas de Probabilidad

Las reglas del juego

La probabilidad P debe satisfacer tres axiomas fundamentales:

1

No negatividad

P(A) \ge 0

La probabilidad de cualquier evento es mayor o igual a cero.

2

Normalización

P(\Omega) = 1

La probabilidad del espacio muestral completo es 1.

3

Aditividad

P\Bigl(\bigcup_{i=1}^n A_i\Bigr) = \sum_{i=1}^n P(A_i)

Para eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades.

1.4 Probabilidad Condicional

Actualizando creencias con evidencia

La probabilidad de que ocurra A dado que ocurrió B se define como:

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) > 0

Esto nos permite actualizar nuestras creencias cuando obtenemos nueva información.

Regla de la multiplicación

P(A \cap B) = P(A \mid B) \, P(B)

La probabilidad conjunta se descompone como condicional por marginal.

Ley de probabilidad total

P(B) = \sum_i P(B \mid A_i) \, P(A_i)

Particionando el espacio según $A_i$ .

1.5 Teorema de Bayes

La fórmula más importante de la ciencia de datos

El teorema de Bayes combina la probabilidad condicional con la ley de probabilidad total:

P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B)} = \frac{P(B \mid A) \, P(A)}{P(B \mid A) P(A) + P(B \mid A^c) P(A^c)}

$P(A)$ es la probabilidad a priori (creencia inicial), $P(B \mid A)$ es la verosimilitud (qué tan probable es la evidencia dado A), y $P(A \mid B)$ es la probabilidad a posteriori (creencia actualizada).

Calculadora de Bayes

P(A)

= 0.30

P(B \mid A)

= 0.80

P(B \mid A^c)

= 0.20

$P(A \mid B)$ =

0.6316

$P(A \mid B) < P(B \mid A)$ : la probabilidad de tener A dado B es menor que la de tener B dado A. El orden importa.

Ejemplo: diagnóstico médico

Una enfermedad afecta al 1% de la población. La prueba detecta la enfermedad con 99% de sensibilidad (verdadero positivo) y tiene 5% de falsos positivos. Si una persona da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad?

python

# Teorema de Bayes: diagnóstico médico
P_enfermedad = 0.01     # P(A): prevalencia
P_positivo_enfermo = 0.99  # P(B|A): sensibilidad
P_positivo_sano = 0.05     # P(B|A^c): falso positivo

# P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)
numerador = P_positivo_enfermo * P_enfermedad
denominador = (P_positivo_enfermo * P_enfermedad +
               P_positivo_sano * (1 - P_enfermedad))

P_enfermo_dado_positivo = numerador / denominador
print(f"{P_enfermo_dado_positivo:.2%}")
# → 16.7% (¡mucho menor de lo que la gente intuye!)

1.6 Independencia

Cuando los eventos no se influyen

Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro:

P(A \cap B) = P(A) \, P(B)

Equivalentemente:

P(A \mid B) = P(A) \quad \text{y} \quad P(B \mid A) = P(B)

⚠️ Confusión común

Independencia ≠ exclusión mutua. Eventos mutuamente excluyentes $(A \cap B = \varnothing)$ no pueden ser independientes (a menos que uno tenga probabilidad cero).

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