Logo de Pablo MadariagaPablo MadariagaData ScientistAgendar reunión

Capítulo 2

Variables Aleatorias Discretas

PMF, CDF, esperanza, varianza y las distribuciones discretas fundamentales para modelar fenómenos con resultados contables.

2.1 Variable Aleatoria

De resultados a números

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del espacio muestral: X:Ω→RX: \Omega \to \mathbb{R}.

Discreta: toma valores en un conjunto contable (ej: número de caras al lanzar 3 monedas).
Continua: toma valores en un intervalo real (ej: altura de una persona).

Notación

  • • XX — variable aleatoria (mayúscula)
  • • xx — valor específico (minúscula)
  • • P(X=x)P(X = x) — probabilidad de que X valga x

Ejemplo

Lanzamos 3 monedas. Sea XX = número de caras.X∈{0,1,2,3}X \in \{0, 1, 2, 3\}.

2.2 Función de Masa de Probabilidad (PMF)

P(X = x)

La PMF asigna probabilidad a cada valor posible de una variable discreta:

pX(x)=P(X=x)p_X(x) = P(X = x)

Propiedades:

pX(x)≥0y∑xpX(x)=1p_X(x) \ge 0 \quad \text{y} \quad \sum_{x} p_X(x) = 1

Visualización interactiva

Selecciona una distribución y ajusta sus parámetros. Las barras muestran P(X=k)P(X = k).

00.02810.12120.23330.26740.20050.10360.03778910k (# de éxitos)P(X=k)

PMF en Python

python
from scipy.stats import binom, poisson, bernoulli

# Binomial: P(X=k) para n=10, p=0.3
k = 3
prob = binom.pmf(k, n=10, p=0.3)
print(f"P(X={k}) = {prob:.4f}")

# Todas las probabilidades
import numpy as np
ks = np.arange(0, 11)
probs = binom.pmf(ks, n=10, p=0.3)
for k, p in zip(ks, probs):
    print(f"P(X={k}) = {p:.4f}")

Normalización

python
# Verificar que suman 1
p_total = binom.pmf(ks, n=10, p=0.3).sum()
print(f"Suma total: {p_total:.6f}")
# → 1.0

# Esperanza de una Binomial: E[X] = n·p
n, p = 10, 0.3
esperanza = n * p
print(f"E[X] = {esperanza}")
# → 3.0

2.3 Función de Distribución Acumulada (CDF)

P(X ≤ x)

La CDF acumula la probabilidad hasta un valor x:

FX(x)=P(X≤x)=∑k≤xpX(k)F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{k \le x} p_X(k)

Propiedades

  • • FX(−∞)=0F_X(-\infty) = 0
  • • FX(∞)=1F_X(\infty) = 1
  • • No decreciente: si a≤ba \le b, F(a)≤F(b)F(a) \le F(b)
  • • Continua por la derecha

Relación con PMF

pX(k)=FX(k)−FX(k−1)p_X(k) = F_X(k) - F_X(k - 1)

La PMF es la diferencia de la CDF en puntos discretos.

python
from scipy.stats import binom

n, p = 10, 0.3
k = 3

# CDF: P(X <= k)
cdf = binom.cdf(k, n, p)
print(f"P(X <= {k}) = {cdf:.4f}")

# P(a < X <= b) = F(b) - F(a)
prob_entre = binom.cdf(5, n, p) - binom.cdf(2, n, p)
print(f"P(2 < X <= 5) = {prob_entre:.4f}")

2.4 Esperanza y Varianza

Centro y dispersión

La esperanza (media) es el promedio ponderado de los valores:

E[X]=∑xx⋅pX(x)\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x \cdot p_X(x)

La varianza mide la dispersión alrededor de la media:

Var(X)=E[(X−μ)2]=E[X2]−μ2\text{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mu)^2] = \mathbb{E}[X^2] - \mu^2

Propiedades de Esperanza

  • • E[aX+b]=aE[X]+b\mathbb{E}[aX + b] = a\mathbb{E}[X] + b
  • • E[X+Y]=E[X]+E[Y]\mathbb{E}[X + Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]

Propiedades de Varianza

  • • Var(aX+b)=a2Var(X)\text{Var}(aX + b) = a^2\text{Var}(X)
  • • Var(X)≥0\text{Var}(X) \ge 0
  • • Var(X)=0  ⟺  X es constante\text{Var}(X) = 0 \iff X \text{ es constante}

2.5 Distribuciones Discretas Clásicas

Las herramientas del día a día

Bernoulli(p)

Un solo ensayo: éxito (1) o fracaso (0).

P(X=1)=p,  P(X=0)=1−pP(X=1) = p, \; P(X=0) = 1-p

E[X]=p\mathbb{E}[X] = p

Var(X)=p(1−p)\text{Var}(X) = p(1-p)

Binomial(n, p)

n ensayos Bernoulli independientes. Cuenta los éxitos.

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

E[X]=np\mathbb{E}[X] = np

Var(X)=np(1−p)\text{Var}(X) = np(1-p)

Geométrica(p)

Número de ensayos hasta el primer éxito.

P(X=k)=(1−p)k−1p,  k≥1P(X=k) = (1-p)^{k-1}p, \; k \ge 1

E[X]=1/p\mathbb{E}[X] = 1/p

Var(X)=(1−p)/p2\text{Var}(X) = (1-p)/p^2

Poisson(λ)

Eventos raros en un intervalo fijo (λ = tasa promedio).

P(X=k)=e−λλkk!P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

E[X]=λ\mathbb{E}[X] = \lambda

Var(X)=λ\text{Var}(X) = \lambda

2.6 Resumen en Python

Todas las distribuciones en una celda

python
import numpy as np
from scipy.stats import bernoulli, binom, geom, poisson

p, n, lam = 0.3, 10, 4

# PMF en un punto
print(bernoulli.pmf(1, p))       # 0.3
print(binom.pmf(3, n, p))        # 0.2668
print(poisson.pmf(2, lam))       # 0.1465
print(geom.pmf(4, p))            # 0.1029

# CDF
print(binom.cdf(5, n, p))        # P(X <= 5)
print(poisson.cdf(3, lam))       # P(X <= 3)

# Esperanza y varianza
print(binom.mean(n, p))          # n*p = 3.0
print(binom.var(n, p))           # n*p*(1-p) = 2.1

# Generar muestras
muestras = binom.rvs(n, p, size=1000)
print(muestras.mean())           # ~3.0
print(muestras.var())            # ~2.1